Подобная проблема проявляется на разных авто, причем при приближении холодов только прогрессирует. Универсального способа решения здесь нет, нужно смотреть в зависимости от специфики конкретного авто.
1.Действительно, чтобы сигнализация дала команду на завод двигателя должен произойти ряд событий, если одно из событий не проходит, то запуск откладывает, после 4-х попыток прекращается. События контролируется проводкой, которая служит источником контроля запуска двигателя, как правило это напряжение, генератор, тахо-датчик. Помимо это есть программные настройки, которыми можно отрегулировать более гибко эти параметры. В инструкции по установке вся эта информация есть.
2.Еще, если на авто стоит блок обхода штатного иммобилайзера, то проблема может быть в нем, т.е. иммо не видит метку и блокирует двигатель. Здесь можно попробовать оставить второй ключ зажигания в замке и попробовать завести двигатель, если все будет нормально, то значит в блоке обхода проблема.
3.Возможно низкий заряд АКБ, для начала проверьте этот момент.
В любом случае решение проблем с автозапуском, связанных с п.1, следует доверить именно установщикам, самостоятельно вмешиваться в проводку и настройки не рекомендуем.

Брелок не влияет на работу автозапуска. Ключ может говорить, что выполнено резервирование к запуску (актуально только для механических коробок), либо было включено зажигание в режиме охраны. Если самостоятельно ничего не меняли в настройках, то возможно в сервисе Вам их сбили, обратитесь к установщикам для перенастройки сигнализации.

Нет, да и с охраны не снимите, если не работает кнопка II.

У Вас в заказе значится Запасной ЖК-брелок для автосигнализации Scher-Khan Magicar 7,8 (брелок на первую модификацию систем):
https://avtogsm.ru/brelok-Scher-Khan-7-8-p1523.html
Это тот товар, на который Вы самостоятельно оформили заказ у нас на сайте. Если Вам нужен был 7NE-B, то это совсем другой товар:
https://avtogsm.ru/scher-khan-magicar-9-pro2-p6163.html
В этой ситуации, если товар был заказ ошибочно, то мы можем пойти навстречу и оформить возврат, но только если оборудование полностью сохранило свой заводской вид, все компоненты на месте. В этом случае отправляйте полный комплект Почтой России по адресу:
куда: 344034 Ростов-на-Дону ул. Малиновского 94/57 офис 6 (если находитесь в Ростове-на-Дону, то привозите самостоятельно)
кому: ООО "АвтоДжиЭсЭм.ру"
БЕЗ НАЛОЖЕННОГО ПЛАТЕЖА!!!
В посылку вложите подробное описание ситуации в письменном виде + копию нашей накладной ТОРГ-12.
Как получим посылку, решим вопрос.
Стоимость пересылки Почтой России будет за Ваш счет.

Когда получим посылку, Ваш заказ поменяет статус "проверка оборудования",
Вы в личном кабинете это сможете увидеть, предварительно введя на нашем сайте свой логин и пароль.
Также придет на e-mail уведомление о том, что мы получили Вашу посылку.

Нет, к 7NE-B только такой походит:
https://avtogsm.ru/scher-khan-magicar-9-pro2-p6163.html

Можно установить на данный автомобиль.
Если на автомобиле установлен штатный иммобилайзер с чипом в ключе зажигания, то для реализации автозапуска необходим блок его обхода:
https://avtogsm.ru/saturn-au-60-p5002.html

Зря сбросили настройки, так как они производятся установщиками под конкретное подключение, придется снова к ним обращаться или к другим установщикам для перенастройки сигнализации.

1.Необходимо перепрограммировать функцию 1-12, стр.67, 60:
https://avtogsm.ru/article/SK_7_manual_USER_NEW.pdf
2.Не нормально, это с установщиками на месте надо проверять.
3.Под охраной при работающем двигателе не обязательно находиться в машине, суть этой функции в том, чтобы можно было запереть двери и взять под охрану концевики дверей, т.е. все датчики, которые бы не ограничивали работу двигателя. Блокировка двигателя, само собой, при этом режиме не включается.

Это все зависит не от сигнализации, а подключения и электрики конкретного авто, обратитесь к квалифицированным установщикам и уточните варианты решения данной ситуации.

Замок ни при чем, проверьте концевик багажника и проводку, которой сигнализация подключена к концевику.